Перейти до вмісту

Теорія множин


Повідомлень в темі: 87

#1 Сірий кіт

    Постійний житель

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPip
  • 195 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:м.Хмельницький

Відправлено 07.07.2010 – 21:40

  • 87
Чому дорівнює потужність континуума?
Якщо спробувати рахувати дійсні числа, що знаходяться між нулем і одиницею, так як ми раххуємо елементи "счётных" множин, то ми потерпимо фіаско уже на стрті. Яке б мале число ми не взяли наступним після нуля елементом, виявиться що ми пропустили величезну (нескінченну) множину дійсних чисел з вказаного діапазону. Тому пропоную піти іншим шляхом. Cпочатку виділимо підмножину дійсних чисел з указаного діапазону які відрізняоться поміж собою цифрою в розряді "десятих", а всі молодші розряди містять тільки нулі. Таких чисел усього дев'ять: 0,1; 0,2; 0,3; ... 0,9. В загльному виразі цо кількість можна записати так: 101-1. Потім виділимо підмножину дійсних чисел з указаного діапазону, які відрізняються цифрами в розряді "сотих" і старших розрядах, а усі молодші розряди містять нулі, за винятком раніше виділе них в уже розглянуту підмножину. Таких чисел дев'яносто дев'ять: 0,01; 0,02; 0,03; ... 0,99. За винятком дев'яти виділених в попередню підмножину їх 90. В загальному виразі цю кількість можна записати так: 102-101. Потім аналогічно виділимо підмножину по "тисячних". Таких чисел буде 999, а завинятком уже виділених їх буде 900. В загальному випадку потужність цієї конечної множини можна записати так: 103-102. І так далі аж до бесконечності. В загальному виразі потужність кожної такої підмножини можна записати так: 10і-10і-1. Де і- модуль найменшого розряду, що містить цифри відмінні від нуля.
Сума потужностей цих підмножин і дає потужність континуума
Pk=і-1PNСум(10і-10і-1)
Де: Pk- потужність континуума; PN- потужність множини натуральних чисел.
Що тут неправильно?

#2 Sergiy_K

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 6889 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:штори

Відправлено 07.07.2010 – 22:38

Ти вирішив всі статті з вікіпедії по черзі "засумнівати" в окремих темах? :rolleyes:
  • 0

#3 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 3729 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 07.07.2010 – 22:50

Перегляд дописуСірий кіт (7.07.2010 22:40) писав:

Чому дорівнює потужність континуума?
Якщо спробувати рахувати дійсні числа, що знаходяться між нулем і одиницею, так як ми раххуємо елементи "счётных" множин, то ми потерпимо фіаско уже на стрті. Яке б мале число ми не взяли наступним після нуля елементом, виявиться що ми пропустили величезну (нескінченну) множину дійсних чисел з вказаного діапазону. Тому пропоную піти іншим шляхом. Cпочатку виділимо підмножину дійсних чисел з указаного діапазону які відрізняоться поміж собою цифрою в розряді "десятих", а всі молодші розряди містять тільки нулі. Таких чисел усього дев'ять: 0,1; 0,2; 0,3; ... 0,9. В загльному виразі цо кількість можна записати так: 101-1. Потім виділимо підмножину дійсних чисел з указаного діапазону, які відрізняються цифрами в розряді "сотих" і старших розрядах, а усі молодші розряди містять нулі, за винятком раніше виділе них в уже розглянуту підмножину. Таких чисел дев'яносто дев'ять: 0,01; 0,02; 0,03; ... 0,99. За винятком дев'яти виділених в попередню підмножину їх 90. В загальному виразі цю кількість можна записати так: 102-101. Потім аналогічно виділимо підмножину по "тисячних". Таких чисел буде 999, а завинятком уже виділених їх буде 900. В загальному випадку потужність цієї конечної множини можна записати так: 103-102. І так далі аж до бесконечності. В загальному виразі потужність кожної такої підмножини можна записати так: 10і-10і-1. Де і- модуль найменшого розряду, що містить цифри відмінні від нуля.
Що тут неправильно?
В принципі правильно, ти довів еквівалентність множини всіх раціональних чисел які виражаються скінченним десятковими дробами множині натуральних чисел, тобто рівнопотужність цих множин. Раціональні числа які періодичними дробами виражаються ти пропустив. Напр., ти ніколи в цій процедурі числа 1/3=0/33333(3).. не досягнеш. Але легко можна довести, що множина всіх раціональних чисел теж зліченна, рівнопотужна натуральному ряду.

Перегляд дописуСірий кіт (7.07.2010 22:40) писав:

Сума потужностей цих підмножин і дає потужність континуума
Це вже ні. В твоєму доведенні уже навіть такі раціональні числа, як 1/3 чи 3/14 пропущені, що вже про ірраціональні числа казати, які не періодичним десятковим дробом виражаються. Кантор довів, що множина дійсних чисел має більшу потужність, ніж натуральний ряд. Ось доведення.

Перегляд дописуСірий кіт (7.07.2010 22:40) писав:

Що тут неправильно?
Ти не знаєш, що таке потужність. Візьми якусь книжку і ознайомся із термінологією. Якщо між множинами є бієкція - вони рівнопотужні, кожному елементу однієї множини можна поставити взаємно однозначно елемент иншої множини, адже саме бієкцію між натуральними числами і раціональними числами, що через скінченний десятковий дріб виражаються, ти вище побудував. Й довів, що кількість раціональних чисел і натуральних однакова.

Не скромне запитання, а навіщо тобі теорія множин?
  • 0

#4 Katod

    вєтєран

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 3642 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Київ

Відправлено 08.07.2010 – 14:47

а я плутаю теорію множин і теорію груп
просто таке враження, що множини це наслідок теорії груп (та і математика взагалі), і я з того дуже радий:rolleyes:
  • 0

#5 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 3729 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 08.07.2010 – 19:47

Перегляд дописуKatod (8.07.2010 15:47) писав:

а я плутаю теорію множин і теорію груп
просто таке враження, що множини це наслідок теорії груп (та і математика взагалі), і я з того дуже радий:rolleyes:
Трохи навпвки, якраз теорія множин часто як основа математики розглядається. Теорія груп має широке застосування у фізиці із часу піонерських робіт Вігнера та Вейля. Теорія множин, то поки все ж чиста математика здається, не спаплюжена якимись прикладними застосуваннями. Спростування теорії груп - то мабуть буде наступна тема від сірого кота. А щодо теорії множин, то у так званій наївній теорії множин яку створив Кантор справді є парадокси, відкриті на початку минулого століття. Щоб уникнути парадоксів користуються аксіоматичними теоріями множин, які накладають дечкі обмеження на занадто широке поняття множина.
  • 0

#6 Сірий кіт

    Постійний житель

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPip
  • 195 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:м.Хмельницький

Відправлено 09.07.2010 – 21:49

Перегляд дописуkalamar (7.07.2010 23:50) писав:

Не скромне запитання, а навіщо тобі теорія множин?
Теорія множин мені потрібна для того, для чого і СТО, а саме: ні для чого, просто мені цікаво. Говорити про інші теорії я не беруся, бо в них застосовується складні математичні аппарати, якими я майже зовсім не володію. Теорія груп не стане моєю наступною темою, бо я про неї вперше почув з допису Катода. В Дороговева є така фраза:"Как синонимы слова "монжество" используются слова: совокупность, семейство, класс." В інших джерелах я ще зустрічав синоніми: многообразіє, набір елементів, група і.т.д. В теорії множин є твердження які мені здаються абсурдними і мені цікаво з ними розібратися. В відповіді на допис Катода ти пишеш:

Цитата

А щодо теорії множин, то у так званій наївній теорії множин яку створив Кантор справді є парадокси, відкриті на початку минулого століття. Щоб уникнути парадоксів користуються аксіоматичними теоріями множин, які накладають дечкі обмеження на занадто широке поняття множина.
це мені теж цікаво.
Стосовно твоєї поради:

Цитата

Візьми якусь книжку і ознайомся із термінологією.
то я так і зробив. Перш ніж писати перший допис на цю тему, я ще раз перечитав відповідні розділи А.Г.Ципкіна "Справочник по математике для средних учебных заведений", (це основне моє джерело на цю тему воно відповідає рівню моєї освіти) і А.Я. Дороговцева "Математический анализ. Справочное пособие", (це додаткове, більш солідне, але менш зрозуміле, для мене, джерело ).
Про потужність множин у Дороговцева написано:

Цитата

Конечные множества сравнивниваются по запасу их элементов довольно просто- нужно сравнить числа их элементов в этих множествах. Для множеств, содержащих бесконечно много элементов, такой приём не годится.

Цитата

Исходным пунктом теории множеств является следующее определение:"Множества А и В равномощны или имеют одинаковую мощность, если существует биекция f: A->B."
Тоді питання: "Яка потужність множини?" рівозначне питанню:"Скільки елементів у цій множині?" Так чи ні?
  • 0

#7 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 3729 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 09.07.2010 – 22:24

Перегляд дописуСірий кіт (9.07.2010 22:49) писав:

Тоді питання: "Яка потужність множини?" рівозначне питанню:"Скільки елементів у цій множині?" Так чи ні?
У принципі так. Але фактично ти лише можеш про скінченні множини казати, що у них напр. 49 чи 10^56778 елементів. Уже натуральний ряд має нескінченну кількість елементів. Теорія множин то наука про нескінченне. Виникає питання, як можна порівнювати кількість елеменів у нескінченних множинах, й чи взагалі можна. Для порівняння вибирається не перерахунок, який лише для скінченних множин годиться, а взаємно однозначна відповідність. Адже, якщо ти кожному елементу якоїсь множини ставиш у відповідність один і тільки один елемент иншої множини, і навпвки, ти можеш казати, що ці множини мають однакову кілкість елементів. В скінченному випадку, якщо тобі треба довести, що кількість стільців у залі рівна кількості людей, можна запропонувати людям сісти на стільці й подивитись, чи не буде зайвих стільців, й чи всім стільців вистачить.
Для нескінченних множин можна встановити бієкцію між множиною і її підмножиною, отже кількість елементів множини може бути рівна кількості елементів якоїсь підмножини тієї множини. Ціле рівне частині! напр. бієкція n -> 2n кожному натуральному числу ставить у відповідність парне натуральне число, отже парних натуральних чисел стільки ж, як і натуральних. Теорема Кантора зокрема доводить, що дійсних чисел більше ніж натуральних, те не можеш знайти взаємно однозначної відповідності між дійсними й натуральними числами, що ти спробував вище зробити. В загальному випадку, множина всіх підмножин будь-якої множини має більшу потужність ніж вихідна множина.
  • 0

#8 Сірий кіт

    Постійний житель

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPip
  • 195 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:м.Хмельницький

Відправлено 10.07.2010 – 19:49

Перегляд дописуkalamar (9.07.2010 23:24) писав:

У принципі так. Але фактично ти лише можеш про скінченні множини казати, що у них напр. 49 чи 10^56778 елементів. Уже натуральний ряд має нескінченну кількість елементів. Теорія множин то наука про нескінченне. Виникає питання, як можна порівнювати кількість елеменів у нескінченних множинах, й чи взагалі можна. Для порівняння вибирається не перерахунок, який лише для скінченних множин годиться, а взаємно однозначна відповідність. Адже, якщо ти кожному елементу якоїсь множини ставиш у відповідність один і тільки один елемент иншої множини, і навпвки, ти можеш казати, що ці множини мають однакову кілкість елементів. В скінченному випадку, якщо тобі треба довести, що кількість стільців у залі рівна кількості людей, можна запропонувати людям сісти на стільці й подивитись, чи не буде зайвих стільців, й чи всім стільців вистачить.
Для нескінченних множин можна встановити бієкцію між множиною і її підмножиною, отже кількість елементів множини може бути рівна кількості елементів якоїсь підмножини тієї множини. Ціле рівне частині! напр. бієкція n -> 2n кожному натуральному числу ставить у відповідність парне натуральне число, отже парних натуральних чисел стільки ж, як і натуральних. Теорема Кантора зокрема доводить, що дійсних чисел більше ніж натуральних, те не можеш знайти взаємно однозначної відповідності між дійсними й натуральними числами, що ти спробував вище зробити. В загальному випадку, множина всіх підмножин будь-якої множини має більшу потужність ніж вихідна множина.
Якщо я в першому дописі щось довів, хоча й не те, що хотів, то спробую довести ще щось. Цю теорему я придумав сам і здається вона елементарно доводиться:
Якщо множина В є доповненням множини А до множини С і множина В не є пустою, то ні множина А ні множина В неможуть бути рівнопотужними множині С. Доведення: Обєднаня множин А і В є множина рівнопотужня множині С. Це випливає з визначення доповнення. Тоді можна задати таке відображення множини С і обєднаням множин А і В щоб кожний елемент множини С відповідав одному і тільки одному елементу множини А або В Тоді частина елементів множини С відповідає елементам множини А, а частина елементам множини В. Ті елементи множини С які відповідають елементам множини А не відповідають елементам множини В, а ті елементи множини С які відповідають елементам множини В не відповідають елементам множини А. Отже бієкції між множиною С і множиною А бути неможе. Таксамо як і бієкції між множинами С і В.
Якщо я цьогоразу нічого не напутав і моя теорема справедлива то вона суперечить деяким теоремам Кантора. Наприклад множина непарних натуральних чисел є доповненням множини парних чисел до множини усіх натуральних чисел і вона не пуста. Тоді за моєю теоремою ні множина парних ні множина непарних чисел не може бути рівнопотужною множині усіх натуральних чисел.
Ти написав:

Цитата

В загальному випадку, множина всіх підмножин будь-якої множини має більшу потужність ніж вихідна множина
.
Отже безконечності бувають більшими і меншими в порівнянні між собою. Тоді щоб відрізняти такі потужності нескінченних множин їх варто позначати різними символами. Хай PN- потужність мпожини усіх натуральних часел, Pп- потужність множини парних часел. Тоді PN/Pп=2. Як це довести я незнаю, але це очевидно.
  • 0

#9 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 3729 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 10.07.2010 – 20:43

Перегляд дописуСірий кіт (10.07.2010 20:49) писав:

Якщо я в першому дописі щось довів, хоча й не те, що хотів, то спробую довести ще щось. Цю теорему я придумав сам і здається вона елементарно доводиться:
Якщо множина В є доповненням множини А до множини С і множина В не є пустою, то ні множина А ні множина В неможуть бути рівнопотужними множині С. Доведення: Обєднаня множин А і В є множина рівнопотужня множині С. Це випливає з визначення доповнення. Тоді можна задати таке відображення множини С і обєднаням множин А і В щоб кожний елемент множини С відповідав одному і тільки одному елементу множини А або В Тоді частина елементів множини С відповідає елементам множини А, а частина елементам множини В. Ті елементи множини С які відповідають елементам множини А не відповідають елементам множини В, а ті елементи множини С які відповідають елементам множини В не відповідають елементам множини А. Отже бієкції між множиною С і множиною А бути неможе. Таксамо як і бієкції між множинами С і В.
Якщо я цьогоразу нічого не напутав і моя теорема справедлива то вона суперечить деяким теоремам Кантора. Наприклад множина непарних натуральних чисел є доповненням множини парних чисел до множини усіх натуральних чисел і вона не пуста. Тоді за моєю теоремою ні множина парних ні множина непарних чисел не може бути рівнопотужною множині усіх натуральних чисел.
Наплутав, бо тобі треба довести, що не існує будь-якої бієкції. А ти лише довів, що конкретне відображення не є бієкцією.
Множина парних чисел є рівнопотужною множині натуральних чисел, бієкція елементарна, n->2n, числу 1 відповідає 2, 2 - 4, 3 - 6, 4 - 8,... в результаті кожному натуральному числу поставлене у відповінність якесь одне парне число і навпвки. Мало того, наявність бієкції між множиною і своєю власною підмножиною може слугувати альтернативним означенням нескінченної множини, бо для будь-якої нескінчанної множини така бієкція є, й водночас, такої бієкції немає для скінченних множин.


Перегляд дописуСірий кіт (10.07.2010 20:49) писав:

Отже безконечності бувають більшими і меншими в порівнянні між собою. Тоді щоб відрізняти такі потужності нескінченних множин їх варто позначати різними символами. Хай PN- потужність мпожини усіх натуральних часел, Pп- потужність множини парних часел. Тоді PN/Pп=2. Як це довести я незнаю, але це очевидно.
Нескінченності справді різні бувають, але, як вище написано, парні й натуральні числа мають однакову потужність. Раціональні числа, всі чичла виду m/n теж рівнопотужні натуральному ряду.

Дійсні числа натуральному ряду уже не рівнопотужні. Чи є потужності проміжні між потужностями множини дійсних та натуральних чисел складає зміст континуум гіпотези.
Ця гіпотеза виявилась незалежною від решти аксіом (Кантор про те не знав, він навіть написав, що він довів ту гіпотезу, ояевидно він її не "довів", він помилявся). В результаті, якщо ти її приймаєш, одержиш канторівську теорію множин, якщо не приймаєш, одержиш неканторівську теорію множин. Це подібне до евклідової й неевклідових геометрій, де різні геометрії вийдуть в залежності від того, який 5 постулат ти візьмеш.
  • 0

#10 Сірий кіт

    Постійний житель

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPip
  • 195 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:м.Хмельницький

Відправлено 10.07.2010 – 23:59

Перегляд дописуkalamar (10.07.2010 21:43) писав:

Множина парних чисел є рівнопотужною множині натуральних чисел, бієкція елементарна, n->2n, числу 1 відповідає 2, 2 - 4, 3 - 6, 4 - 8,... в результаті кожному натуральному числу поставлене у відповінність якесь одне парне число і навпвки. Мало того, наявність бієкції між множиною і своєю власною підмножиною може слугувати альтернативним означенням нескінченної множини, бо для будь-якої нескінчанної множини така бієкція є, й водночас, такої бієкції немає для скінченних множин.
Не намагайся вдовблювати мені подібні речі. Вони мені відомі з тих джерел про які я писав. Але я не визнаю авторитетів, в тому розумінні, що той факт, що те чи інше твердження належить дуже авторитетному і спраді дуже розумному дядькові для мене ще неявляється доказом істиності такого твердження. Я завжди прагну розібратися чи справді те твердження істинне.
Ти написав:

Цитата

Кантор про те не знав, він навіть написав, що він довів ту гіпотезу, ояевидно він її не "довів", він помилявся.
Бачиш дуже авторитетні і справді дуже розумні дядьки теж помиляються.

Перегляд дописуkalamar (10.07.2010 21:43) писав:

Нескінченності справді різні бувають,
Тоді я напишу так: Р12=r. де Р1-потужність першої множини; Р2- потужність другої множини; r-деяке дійсне число, хоча воно може бути рівне нескінченності, або невизначенності.
  • 0

#11 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 3729 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 11.07.2010 – 00:09

Перегляд дописуСірий кіт (11.07.2010 00:41) писав:

Не намагайся вдовблювати мені подібні речі. Вони мені відомі з тих джерел про які я писав. Але я не визнаю авторитетів, в тому розумінні, що той факт, що те чи інше твердження належить дуже авторитетному і спраді дуже розумному дядькові для мене ще неявляється доказом істиності такого твердження. Я завжди прагну розібратися чи справді те твердження істинне.
Ти написав:

Бачиш дуже авторитетні і справді дуже розумні дядьки теж помиляються.
Я тобі нічого не "вдовблюю", ти запитав, я відповів. Математика точна наука. Вона не від авторитету залежить. Якщо ти приймаєш вихідні положення, із них слідує результат. Якщо ти приймаєш означення рівнопотужності, із нього слідує, що множина натуральних чисел рівнопотужна своїй підмножині парних чисел. Все. Там строге елементарне доведення.

Доведення континуум-гіпотези Кантор не дав, він лише написав, що із якихось міркувань його можна дати.

Якщо є нескінченна зліченна кількість людей у залі, є спосіб їх розсадити на нескінченну кількіть стільців із тільки парними номерами. Якщо кількість людей континуум, такого способу нема, як би ти їх не розсаджував, стільців не вистачить.
  • 0

#12 Сірий кіт

    Постійний житель

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPip
  • 195 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:м.Хмельницький

Відправлено 11.07.2010 – 00:25

Перегляд дописуkalamar (10.07.2010 21:43) писав:

Це подібне до евклідової й неевклідових геометрій, де різні геометрії вийдуть в залежності від того, який 5 постулат ти візьмеш.
Це уже з другої теми, але мені теж це цікаво правда в контексті СТО. В одній популярній брошурці по СТО я прочитав, що геометрія Евкліда для СТО не підходить там потрібно користуватися геометрією Лобачевського, яка відрізняється тим що в ній замість аксіоми про те, що паралельні прямі ніколи не перетинаються, використана аксіома,що паралельні прямі перетинаються в нескінченності. Потім набагато пізніше я зустрів таку аксіому в підручнику з "начертательной геометрии". Опис геометричних об'єктів від цього справді сильно змінився, але властивості простору залишилися незмінними.
  • 0

#13 Сірий кіт

    Постійний житель

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPip
  • 195 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:м.Хмельницький

Відправлено 11.07.2010 – 01:03

Перегляд дописуkalamar (10.07.2010 21:43) писав:

Наплутав, бо тобі треба довести, що не існує будь-якої бієкції. А ти лише довів, що конкретне відображення не є бієкцією.
Ти написав що, на твою думку в мене вийшло, але не написав в чому моя помилка. Я хочу розібратися саме в цьому.
Ми задали таке відображення, яке забезпечило бієкцію деякої множини С з обєднанням деякої іншої множини А з доповненям цієї множини до множини С-В. А і В не пусті множини. Кожному елементу кожної з цих множин відповідає точно один елемент. потім ми виключаємо множину В. Як нам бути з тими елементами множини С які раніше відповідали елементам множини В? Якщо ми залишимо їх без пари то в нас цим елементам множини С не відповідатимуть елементи множини А- бієкція не виходить. Якщо ми цим елементам множини С поставимо в відповідність якісь елементи множини А, то цим елементам множини А відповідатиме більше одного елемента з множини С. Як би ми не крутили, яке б відображення не задавали ті елементи множини С, які раніше відповідали елементам множини В будуть зайвими. Ми не задавали жодного конкретного відображення ми просто довели, що якщо між множиною С і об'єднанням множини А і її доповнення до множини С є бієкція. Бієкції між А і С бути неможе. В чому тут помилка?
  • 0

#14 Сірий кіт

    Постійний житель

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPip
  • 195 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:м.Хмельницький

Відправлено 11.07.2010 – 06:01

Перегляд дописуkalamar (11.07.2010 01:09) писав:

Я тобі нічого не "вдовблюю", ти запитав, я відповів. Математика точна наука. Вона не від авторитету залежить. Якщо ти приймаєш вихідні положення, із них слідує результат. Якщо ти приймаєш означення рівнопотужності, із нього слідує, що множина натуральних чисел рівнопотужна своїй підмножині парних чисел. Все. Там строге елементарне доведення.

Доведення континуум-гіпотези Кантор не дав, він лише написав, що із якихось міркувань його можна дати.

Якщо є нескінченна зліченна кількість людей у залі, є спосіб їх розсадити на нескінченну кількіть стільців із тільки парними номерами. Якщо кількість людей континуум, такого способу нема, як би ти їх не розсаджував, стільців не вистачить.
Нехай в тебе є нескінченна множина стільців зі сквозною нумерацією і нескінченна множина американців і тобі їх потрібно розсадити. Тут усе просто розсажуй як попало тільки по одному в крісло. Розсадив? Добре тепре уяви що стільці з парними номірами швейцарські, а стільці з непарними номерами були китайські і усі поломилися. Від цього кількість стільців з парними номерами не змінилася. І стільці були звичайні, а не електричні, тому і кількість американців не змінилася. Куди ти розсадиш американців що залишилася без стільців?
Якби зломився хочаб один єдиний китайський стільчик тиб всеодно уже не зміг би розсадити усіх так щоб на кожному стільчику сидів тільки один американець. А якби тобі це удалося то цеб означало що поки стільчики були цілі у тебе не було бієкції між стільцями і американцями, раз у тебе виявилися зайві стільчики.
Що стосується вдолблювання то нехай буде не вдолблювання. Але памятай, я уже колись це писав Катоду, Я сірий кіт, а не чорний.
А от про континіум-гіпотезу вперше чую. Про гіпотези у фізиці чув, а про гіпотузи в математиці вперше чую.
Бач ти впевнений в тому що Великі ніколи не помиляються, а я в цьому сумніваюся.
  • 0

#15 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 3729 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 11.07.2010 – 15:53

Перегляд дописуСірий кіт (11.07.2010 07:01) писав:

Нехай в тебе є нескінченна множина стільців зі сквозною нумерацією і нескінченна множина американців і тобі їх потрібно розсадити. Тут усе просто розсажуй як попало тільки по одному в крісло. Розсадив? Добре тепре уяви що стільці з парними номірами швейцарські, а стільці з непарними номерами були китайські і усі поломилися. Від цього кількість стільців з парними номерами не змінилася. І стільці були звичайні, а не електричні, тому і кількість американців не змінилася. Куди ти розсадиш американців що залишилася без стільців?
Елементарно, підніму всіх американців на парних стільцях. Далі першого американця на другий стілець, другого на четвертий, третього на шостий, і. т. д. Які взагалі проблеми, стільці ніколи не закінчаться, й я кожного американця посаджу, адже їх нескінчення зліченна кількість, кожен має номер, і я дійду до до як завгодно великого номера. Всі сядуть.

Перегляд дописуСірий кіт (11.07.2010 07:01) писав:

Що стосується вдолблювання то нехай буде не вдолблювання. Але памятай, я уже колись це писав Катоду, Я сірий кіт, а не чорний.
А от про континіум-гіпотезу вперше чую. Про гіпотези у фізиці чув, а про гіпотузи в математиці вперше чую.
Бач ти впевнений в тому що Великі ніколи не помиляються, а я в цьому сумніваюся.

Ти гарно весь час повторюєш мантру про не визнання тобою авторитетів. Молодець! Візьми з полиці пиріжок.
Але це не позбавляє тебе необхідності думати, й не позбавляє необхідності навчитись уважно читати означення. Бо просто не знаю, чи взагалі реагувати варто, бо це геть елементарні речі. Ти не розібрався в цій елементарщині й ґвавт кричиш.

А в означенні рівнопотужності говориться, що мусить існувати якась, хоча б одна, бієкція. Існує багато відображень двох множин одна на одну, щоб довести рівнопотужність тобі досить знайти якусь хоча б одну бієкцію між множинами. Звичайно можна розглядати бієкцію n->n на множині натуральних чисел, чи n->3n, ці відображення не є бієкцією між парними й натуральними числами, і що? Я можу розглянути відображення n->n+1, числа 1, 2. 3. 4 ... відображатимуться на 2, 3, 4, 5... Із тими стільцями, якщо у мене є зліченна нескінченна кількість людей я їх по різному можу розсадити на перенумеровані стільці яких теж нескінченність. Можна, щоб вони заняли всі стільці n->n, можна зарезервувати перших три місця n->n+3, можна тільки на парні числа посадити n->2n, всі непарні місця пусті будуть, й стільців все одно вистачить. Я можу всіх посадити лише на місця із простими номерами, хоча тут і нема такої простої формули, але Евклід довів, що простих чисел нескінченно багато.

Щоб довести нерівнопотужність, треба довести, що як би ти не пнувся, а бієкції між множинами не знайдеш.
  • 0

#16 Сірий кіт

    Постійний житель

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPip
  • 195 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:м.Хмельницький

Відправлено 12.07.2010 – 20:49

Беру тайм аут недільки на дві. Потім продовжимо. Пока!
  • 0

#17 Сірий кіт

    Постійний житель

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPip
  • 195 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:м.Хмельницький

Відправлено 25.08.2010 – 19:34

Каламаре, в дописі №3 ти дав посилання на джерело, де є доведення теореми Кантора. Я подивився це доведення і нічого не зрозумів, хоча там ніби усе елементарно. Сама теорема звучить так:"Множество бесконечных последовательностей нулей и единиц несчетно." Далі чомусь будується нескінченна вправо і вниз таблиця. Потім виділяється підмножина клітинок цієї таблиці з елементів, що розташовні по діагоналі таблиці. Потім: "Заменив все члены на противоположные, мы получим последовательность b, у которой b=1-aii" Дочого тут ця таблиця, і чому b=1-aii? З іншого боку якщо розглядати таку таблицю і відповідати прямо на питання: "Яка потужність множини клітинок цієї таблиці?" то виходить P=Сум(2i-1)[від i=1 до i=нескінченості].Ця формула випливає з такого алгоритму. Спочатку виділяємо саму верхню і саму ліву клітинку. потім додаємо до неї множину клітинок, що утворюють піврамку навколо цієї клітинки. До отриманої множини додаємо множину клітинок, що утворюють піврамку навколо квадрату обмеженного пів рамкою добавленною на попередньому кроці. І так до бесконечності. Звичайно при будьякому конечному i ми порахукємо кількість клітин в конечній таблиці I*I, але продовжуючи цей алгоритм нескінченно ми пере рахуємо усі клітинки такої нескінченної вправо і вниз таблиці. Це стосується і алгоритму використаному мною в дописі №1. Якщо продовжувати його до нескінченності то він охопить усі дійсні числа від 0 до 1.
  • 0

#18 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 3729 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 05.09.2010 – 16:17

Перегляд дописуСірий кіт (25.08.2010 20:34) писав:

Каламаре, в дописі №3 ти дав посилання на джерело, де є доведення теореми Кантора. Я подивився це доведення і нічого не зрозумів, хоча там ніби усе елементарно. Сама теорема звучить так:"Множество бесконечных последовательностей нулей и единиц несчетно."
Я не знаю як можне спрощеніше пояснити тобі то доведення. воно уже максимально просте.
Послідовності нулів та одиниць - то числа у двійковій системі числення. Теорему можна і через десятковий запис чисел доводити, то не принципово. У десятковій системі просто вважай aij цифрами.

Перегляд дописуСірий кіт (25.08.2010 20:34) писав:

Далі чомусь будується нескінченна вправо і вниз таблиця.
Припускається, що дійсні числа із відрізку [0,1] зліченні, тобто їх можна перенумерувати, пиписати кожному якейсь натуральне число. А отже, на основі такого припущення, можна виписати всі дійсні числа у вигляді такої таблиці, по тому натуральному числу, індексу, яке кожному числу приписане.

Перегляд дописуСірий кіт (25.08.2010 20:34) писав:

Потім виділяється підмножина клітинок цієї таблиці з елементів, що розташовні по діагоналі таблиці.
Потім: "Заменив все члены на противоположные, мы получим последовательность b, у которой b=1-aii" Дочого тут ця таблиця, і чому b=1-aii?
Так побудована послідовність представляє якейсь дійсне число у двійковій системі числення, причому число відмінне від будь-якого числа тієї таблиці, бо отой діагональний елемент відмінний. В десятковому варіанті просто на i-тому місті послідовності береш будь-яке число яке не дорівнює aii й не дев’ять (щоб уникнути 9 у періоді). Та послідосність дасть число, яке від першого числа таблиці першою цифрою різнитиметься, від другого - другою..., а отже дійсне число якого у таблиці нема. А звідси слідує, що вихідне пипущення, що дійсні числа можна перенумерувати - хибне. Отже не існує взаємно однозначної відповідності між дійсними й натуральними числами.
  • 0

#19 Сірий кіт

    Постійний житель

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPip
  • 195 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:м.Хмельницький

Відправлено 09.09.2010 – 21:47

Перегляд дописуkalamar (5.09.2010 17:17) писав:

Я не знаю як можне спрощеніше пояснити тобі то доведення. воно уже максимально просте.
Послідовності нулів та одиниць - то числа у двійковій системі числення. Теорему можна і через десятковий запис чисел доводити, то не принципово. У десятковій системі просто вважай aij цифрами.

Припускається, що дійсні числа із відрізку [0,1] зліченні, тобто їх можна перенумерувати, пиписати кожному якейсь натуральне число. А отже, на основі такого припущення, можна виписати всі дійсні числа у вигляді такої таблиці, по тому натуральному числу, індексу, яке кожному числу приписане.

Так побудована послідовність представляє якейсь дійсне число у двійковій системі числення, причому число відмінне від будь-якого числа тієї таблиці, бо отой діагональний елемент відмінний. В десятковому варіанті просто на i-тому місті послідовності береш будь-яке число яке не дорівнює aii й не дев’ять (щоб уникнути 9 у періоді). Та послідосність дасть число, яке від першого числа таблиці першою цифрою різнитиметься, від другого - другою..., а отже дійсне число якого у таблиці нема. А звідси слідує, що вихідне пипущення, що дійсні числа можна перенумерувати - хибне. Отже не існує взаємно однозначної відповідності між дійсними й натуральними числами.
Якщо такі послідовності то іраціональні числа в двійковій системі то комбінація нулів і одиниць в такій послідовності може бути довільною. Поставимо на перше місце одиницю, а можна і нуль. За цією двійковою цифрою напишемо довільну, від одиниці до безконечності, кількість нулів. Потім напишемо довільну кількість одиниць. Потім знову напишемо довільну кількість нулів. І так до безконечності. Матимемо довільне іраціональне число. Запишемо цю послідовність над таблицею. Потім в перший рядок таблиці запишемо двійкове число яке відрізняється від числа над таблицею першою і тільки першою цифрою. В другий рядок таблиці запишемо двійкове число яке відрізняється від числа над таблицею другою і тільки другою цифрою. І так далі. Матимемо нескінченну таблицю заповнену іраціональними числами. Зауважимо, що це далеко не усі іраціотальні числа. Бо іраціональні числа можуть відрізнятися будь якою кількістю цифр, від одиної до усіх (від одиниці до безконечності). Але продовжимо. Випишемо в рядок над тим числом, що записане над таблицею, цифри розташовані в таблиці по діагоналі. Матимемо над таблицею два іраціональні числа, що відрізняються одне від другого усіма цифрами. Ці дві безконечні послідовності нулів і одиниць рівнопотужні. Якщо в верхній послідовності замінимо усі нулі одиницями, а усі одиниці нулями то отримаємо нижнє число. І що з цього усього?
  • 0

#20 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 3729 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 09.09.2010 – 22:47

Перегляд дописуСірий кіт (9.09.2010 22:47) писав:

Якщо такі послідовності то іраціональні числа в двійковій системі то комбінація нулів і одиниць в такій послідовності може бути довільною. Поставимо на перше місце одиницю, а можна і нуль. За цією двійковою цифрою напишемо довільну, від одиниці до безконечності, кількість нулів. Потім напишемо довільну кількість одиниць. Потім знову напишемо довільну кількість нулів. І так до безконечності. Матимемо довільне іраціональне число. Запишемо цю послідовність над таблицею. Потім в перший рядок таблиці запишемо двійкове число яке відрізняється від числа над таблицею першою і тільки першою цифрою. В другий рядок таблиці запишемо двійкове число яке відрізняється від числа над таблицею другою і тільки другою цифрою. І так далі. Матимемо нескінченну таблицю заповнену іраціональними числами. Зауважимо, що це далеко не усі іраціотальні числа. Бо іраціональні числа можуть відрізнятися будь якою кількістю цифр, від одиної до усіх (від одиниці до безконечності). Але продовжимо. Випишемо в рядок над тим числом, що записане над таблицею, цифри розташовані в таблиці по діагоналі. Матимемо над таблицею два іраціональні числа, що відрізняються одне від другого усіма цифрами. Ці дві безконечні послідовності нулів і одиниць рівнопотужні. Якщо в верхній послідовності замінимо усі нулі одиницями, а усі одиниці нулями то отримаємо нижнє число. І що з цього усього?
На жаль я не розумію нічого, із того, що ти написав? І до чого то. А ідея довеlення Кантора дуже проста, припускається, що є бієкція між натуральними та дійсними числами відрізка [0,1], якщо така бієкція є - всі дійсні числа можна виписати у вигляді такої таблиці. Але видно, що діагональна процедура (коли ти будуєш число перша цифра якого відмінна від першої цифри першого числа, друга цифра - від другої цифри другого числа і. т. д.) дозволяє легко знайти дійсне число, якого у таблиці нема. А отже, вихідне припущення, що існує бієкція між натуральними та дійсними числами відрізка [0,1] - хибна. Це строге доведення у межах логіки. Якщо ти користуєшся не людською логікою, а логікою геніїв, то вибач, але нічим зарадити не можу.
Тут не використовується логіка східної філософії, де можуть бути не два, а напр. чотири варіанта (бієкція є; бієкції нема; бієкція є і не є; бієкції ані нема, ані не нема). Це математика, тут вважається, що третє не можливе, бієкція є, або її нема.

Повідомлення відредагував kalamar: 09.09.2010 – 22:54

  • 0



Кількість користувачів, що читають цю тему: 1

0 користувачів, 1 гостей, 0 анонімних