Перейти до вмісту

Задачка з геометріїї


Повідомлень в темі: 7

#1 Airo

    Профі

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPip
  • 300 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Шполяндія

Відправлено 10.10.2009 – 19:11

  • 7
Допоможіть розв'язати. У опуклому чотирикутнику ABCD точки Р і Q - середини сторін АВ і СD відповідно. Доведіть, що PQ<0,5(AC+BD)

#2 Гетьман

    I am forsaken (c) Sylvanas

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 2480 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Leopolis novus

Відправлено 10.10.2009 – 20:00

Запишемо 3 векторні рівності (усі пари букв там - вектори. Я підкреслю знизу, а ви намалюйте стрілочки зверху).
AC=1/2АB+1/2BC+1/2AD+1/2DC;
BD=1/2BA+1/2AD+1/2BC+1/2CD;
2PQ=1/2AB+BC+1/2CD+1/2BA+AD+1/2DC;
Коли ми додамо AC+BD і скоротимо вектори у 2PQ, отримаємо:
AC+BD=BC+AD=2PQ.
З нерівності трикутника, отримуємо, що:
AC+BD>2PQ. Нерівність завжди строга, бо AC та BD завжди не паралельні.

Повідомлення відредагував Гетьман: 10.10.2009 – 20:06

  • 0

#3 aAa(against all authority)

    Профі

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPip
  • 351 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:гуртожиток

Відправлено 10.10.2009 – 21:03

Ну можна і через вектори, але я особисто так не люблю такий підхід...)
Тому підказую, як зробити це іншим способом.
Познач точкою М середину відрізка AD і проведи діагоналі та відрізки PM та QM. PM дорівнює половині BD а QM половині AC.Тому сума PM i QM дорівнює половині сумі AC i BD, перша сума більша за PQ(нерівність трикутника).Отже PQ менша за те, що тобу треба було довести. !
  • 0

#4 Airo

    Профі

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPip
  • 300 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Шполяндія

Відправлено 10.10.2009 – 21:27

Дуже дякую!!!

А таке: Доведіть, що для будь-якого натурального n число n^3 -1 не є степенем числа 2.
  • 0

#5 aAa(against all authority)

    Профі

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPip
  • 351 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:гуртожиток

Відправлено 10.10.2009 – 22:43

Припустимо, що це можливо.
n^3 - 1 = (n - 1) (n^2 + n + 1) = 2^k
Щоб добуток двох чисел був степенем числа двійки треба, щоб кожне з множників було якимось(меншем) степенем числа двійки(це не буду доводити, це майже очевидно).
Тобто (n^2 + n + 1) = 2^a, де а -- деяке ціле число.
(n^2 + n + 1) = n(n + 1) +1;
n(n + 1) -- парне, тому що це добуток двох послідовних чисел, а тому n(n + 1) +1 -- непарне, а отже степенем двійки бути не може. Протиріччя
  • 0

#6 Airo

    Профі

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPip
  • 300 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Шполяндія

Відправлено 11.10.2009 – 17:16

n(n + 1) +1 непарне. а n-1?
  • 0

#7 kavalera

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1258 повідомлень
  • Стать:Чоловік

Відправлено 12.10.2009 – 08:09

Перегляд дописуgku (11.10.2009 18:16) писав:

n(n + 1) +1 непарне. а n-1?
А n-1, може будь-яким натуральним, а мало б бути обов*язково степенем 2.
  • 0

#8 Airo

    Профі

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPip
  • 300 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Шполяндія

Відправлено 12.10.2009 – 19:51

коротше, дякую тему можна закрити
  • 0



Кількість користувачів, що читають цю тему: 1

0 користувачів, 1 гостей, 0 анонімних