Перейти до вмісту

Спеціальна Теорії Відносності vs. Квантова Теорія


Повідомлень в темі: 4451

#1321 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 20.03.2012 – 14:28

Перегляд дописуkalamar (18.03.2012 – 23:23) писав:

Вектори задаються аксіомами, друга половина аксіом пов’язана із множенням векторів на числа. Якщо числа взяти дійсні, то і простір дійсним буде, якщо ж комплексні - комплексним. В загальному випадку можна взяти взагалі елементи якогось поля, тоді буде векторний простір над тим полем.
Псевдоевклідів простір дійсний, там вектори на уявну одиницю не множаться.
Якщо ж розглядати псевдоевклідів простір вкладений в комплексний простір, то спочатку треба розібратись, як те вкладання робиться. Воно робиться те так тривіально, як ви уявляєте, адже двохмірний простір не в комплексну прощину із дійсною і уявною віссю вкладається, :wink2: а розглядається підпростір двомірного комплексного простору. Завважте, двомірного, тобто в якійсь системі координат того простору є "дві дійсні, і дві уявні" осі (в лапках, бо той вислів звичайно строго не коректний). Тому не намагайтесь то через вкладання в комплексний простір зрозуміти, такий підхід насправді складніший.
У вас дійсний простір і вектори множаться тільки на дійсні числа. Ні на яке і вам не потрібно векторів множити.
А як же бути якщо одна з координат уявна?
  • 0

#1322 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 20.03.2012 – 15:46

Перегляд дописуСивий кіт (20.03.2012 – 14:28) писав:

А як же бути якщо одна з координат уявна?

Тоді маєте комплексний простір.
  • 0

#1323 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 22.03.2012 – 06:42

Перегляд дописуВасиль (20.03.2012 – 15:46) писав:

Тоді маєте комплексний простір.
Геометричний зміст має тільки довжина векторів тобто модуль. Отже довжина сумарного вектора (його модуль) обчислюється за формулою:
IcI=V--IaI2+IbI2-2*IaI*IbI*cos(ф). Для прямокутних координат ф =п/2 cos(ф)=0, тому в цьому випадку третій член підкореневого виразу тотожньо дорівнює нулю. В разі якщо a або b уявне число то його модуль всеодно дійсне додатнє число. Так, що не фантазуйте стосовно "псевдоевклідового" простору!
  • 0

#1324 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 22.03.2012 – 13:30

Перегляд дописуСивий кіт (22.03.2012 – 06:42) писав:

Геометричний зміст має тільки довжина векторів тобто модуль. Отже довжина сумарного вектора (його модуль) обчислюється за формулою:
IcI=V--IaI2+IbI2-2*IaI*IbI*cos(ф). Для прямокутних координат ф =п/2 cos(ф)=0, тому в цьому випадку третій член підкореневого виразу тотожньо дорівнює нулю. В разі якщо a або b уявне число то його модуль всеодно дійсне додатнє число. Так, що не фантазуйте стосовно "псевдоевклідового" простору!

В псевдоевклідовому просторі формула для скалярного добутку є іншою за визначенням.
  • 0

#1325 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 25.03.2012 – 18:29

Перегляд дописуВасиль (22.03.2012 – 13:30) писав:

В псевдоевклідовому просторі формула для скалярного добутку є іншою за визначенням.
Причому тут скалярний добуток? Я написав формулу визначення модуля вектора який є сумою двох інших векторів.
  • 1

#1326 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 25.03.2012 – 19:04

Перегляд дописуСивий кіт (25.03.2012 – 18:29) писав:

Причому тут скалярний добуток? Я написав формулу визначення модуля вектора який є сумою двох інших векторів.

Ваша формула псевдоевклідового простору не стосується, а модуль вектора визначається саме формулою для скалярного добутку! Вивчайте підручники!
  • 0

#1327 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 25.03.2012 – 19:30

Перегляд дописуВасиль (25.03.2012 – 19:04) писав:

Ваша формула псевдоевклідового простору не стосується, а модуль вектора визначається саме формулою для скалярного добутку! Вивчайте підручники!
Обгрунтуйте своє твердження і заодно дайте визначення скалярного добутку.
  • 0

#1328 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 25.03.2012 – 23:34

Перегляд дописуСивий кіт (25.03.2012 – 19:30) писав:

Обгрунтуйте своє твердження і заодно дайте визначення скалярного добутку.

На ці запитання я вже відповів. Читайте тут:

Перегляд дописуВасиль (12.02.2012 – 20:39) писав:

Добре! Спробую пояснити по-іншому, раз Ви знаєте, що таке скалярний добуток векторів. Скалярний добуток вектора на самого себе дає квадрат модуля цього вектора. Прикладом модуля вектора в евклідовому просторі є відстань між двома точками, яка є модулем вектора, що утворений цими точками. Так от, метрикою і є формула, з допомогою якої ми можемо знайти скалярний добуток будь-яких двох векторів в певному просторі. Наприклад, маємо два вектори

Цитата

Зображення і Зображення. Розкладемо їх по базису системи координат:
Зображення
тоді їхній скалярний добуток дорівнює:
Зображення

Тут Зображення та Зображення є ортами базису.

В формулу (19) треба підставити метричний тензор псевдоевклідового простору, а Ваша формула такою не є!
  • 0

#1329 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 26.03.2012 – 07:19

Перегляд дописуВасиль (25.03.2012 – 23:34) писав:

На ці запитання я вже відповів. Читайте тут:


В формулу (19) треба підставити метричний тензор псевдоевклідового простору, а Ваша формула такою не є!
По-першее я просив пояснити, що таке скалярний добуток!
По-друге у нас немає системи координат. Є просто два вектори. Визначити модуль вектора який є сумою двох даних векторів.
  • 0

#1330 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 26.03.2012 – 12:41

Перегляд дописуСивий кіт (26.03.2012 – 07:19) писав:

По-першее я просив пояснити, що таке скалярний добуток!
По-друге у нас немає системи координат. Є просто два вектори. Визначити модуль вектора який є сумою двох даних векторів.

Якщо у Вас немає системи координат, то і скалярного добутку не буде! Модуль вектора визначається через скалярний добуток. А скалярний добуток - це певна функція координат двох векторів. Не забувайте, що йдеться про псевдоевклідовий, а не евклідовий простір!
  • 0

#1331 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 26.03.2012 – 15:04

Перегляд дописуВасиль (26.03.2012 – 12:41) писав:

Якщо у Вас немає системи координат, то і скалярного добутку не буде! Модуль вектора визначається через скалярний добуток. А скалярний добуток - це певна функція координат двох векторів. Не забувайте, що йдеться про псевдоевклідовий, а не евклідовий простір!
Напишіть конкретно яка саме функція?
  • 0

#1332 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 26.03.2012 – 15:05

Я вже написав в попередньому дописі!
  • 0

#1333 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 26.03.2012 – 15:16

Перегляд дописуВасиль (26.03.2012 – 12:41) писав:

Якщо у Вас немає системи координат, то і скалярного добутку не буде! Модуль вектора визначається через скалярний добуток. А скалярний добуток - це певна функція координат двох векторів. Не забувайте, що йдеться про псевдоевклідовий, а не евклідовий простір!
Дані вектори розташовуємо так, щоб початок одного співпадав з кінцем другого. Вектор що починається там, де починається перший вектор, а закінчується там, де закінчується другий вектор і є сумарним вектором двох даних векторів. Ці три вектори утворюють трикутник, в якому відомі дві сторони і кут між ними. знаходимо довжину третьої сторони. Це і є модуль сумарного вектора. усе дуже просто, наглядно і переконливо. Покажіть так само наглядно знаходження модуля сумарного вектора через скалярний добуток?
  • 0

#1334 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 26.03.2012 – 15:22

Перегляд дописуСивий кіт (26.03.2012 – 15:16) писав:

Дані вектори розташовуємо так, щоб початок одного співпадав з кінцем другого. Вектор що починається там, де починається перший вектор, а закінчується там, де закінчується другий вектор і є сумарним вектором двох даних векторів. Ці три вектори утворюють трикутник, в якому відомі дві сторони і кут між ними. знаходимо довжину третьої сторони. Це і є модуль сумарного вектора. усе дуже просто, наглядно і переконливо. Покажіть так само наглядно знаходження модуля сумарного вектора через скалярний добуток?

Ваші роздуми стосуються лише евклідового простору, бо там все наочно і переконливо. А от в псевдоевклідовому просторі не так наочно, але зовсім не складно. Знайдіть координати сумарного вектора і підставте їх в формулу для модуля вектора! Простіше неможливо.
  • 0

#1335 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 4225 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 26.03.2012 – 15:48

Перегляд дописуСивий кіт (26.03.2012 – 15:04) писав:

Напишіть конкретно яка саме функція?
Це функція, яка будь-яким двом векторам ставить у відповідність число. Є дві додаткові вимоги на цю функцію, вона мусить бути лінійною і комутативною.
Звичайно також приймається вимога, що ця функція є додатньо визначеною. Але у випадку псевдоевклідового простору не вимагається додатня визначеність. Це дуже суттєва відмінність скалярного добутку в псевдоевклідовому просторі, від звичайного скалярного добутку. Тому, якщо параноїдально строго говорити, то скалярний добуток в псевтоевклідовому просторі слід називати індефінітним скалярним добутком, щоб підкркслити цю відмінність від більш традиційного скалярного добутку.
  • 1

#1336 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 26.03.2012 – 16:24

Перегляд дописуkalamar (26.03.2012 – 15:48) писав:

Це функція, яка будь-яким двом векторам ставить у відповідність число. Є дві додаткові вимоги на цю функцію, вона мусить бути лінійною і комутативною.
Звичайно також приймається вимога, що ця функція є додатньо визначеною. Але у випадку псевдоевклідового простору не вимагається додатня визначеність. Це дуже суттєва відмінність скалярного добутку в псевдоевклідовому просторі, від звичайного скалярного добутку. Тому, якщо параноїдально строго говорити, то скалярний добуток в псевтоевклідовому просторі слід називати індефінітним скалярним добутком, щоб підкркслити цю відмінність від більш традиційного скалярного добутку.
Яким вимогам повинна відповідати ваша загадкова функція зрозуміло. Тепер напишіть яка саме функція відповідає цим вимогам?

Перегляд дописуВасиль (26.03.2012 – 15:22) писав:

Ваші роздуми стосуються лише евклідового простору, бо там все наочно і переконливо. А от в псевдоевклідовому просторі не так наочно, але зовсім не складно. Знайдіть координати сумарного вектора і підставте їх в формулу для модуля вектора! Простіше неможливо.
Напишіть як ви розкладаєте вектори на проекції?
  • 0

#1337 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 26.03.2012 – 16:33

Перегляд дописуСивий кіт (26.03.2012 – 16:24) писав:

Яким вимогам повинна відповідати ваша загадкова функція зрозуміло. Тепер напишіть яка саме функція відповідає цим вимогам?


Напишіть як ви розкладаєте вектори на проекції?

Функцію я вже написав, повторювати втретє не буду. Вектор можна розкласти на проекції, якщо помножити скалярно вектор на відповідні орти. Отримаєте проекції. Але для цього треба вже мати проекції. Їх можна знайти також геометрично. В ортонормованому базисі треба опустити перпендикуляри з початку й кінця вектора на відповідну вісь. А ще простіше - від координат кінця вектора відняти координати його початку!

Повідомлення відредагував Василь: 26.03.2012 – 16:47

  • 0

#1338 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 4225 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 26.03.2012 – 17:32

Перегляд дописуСивий кіт (26.03.2012 – 16:24) писав:

Напишіть як ви розкладаєте вектори на проекції?

Та невже я маю тут вам виписувати те, що виписано в книжці, бо ви прочитати не здатні?
Хай є простір розмірності N. З визначення розмірності простору, там можна знайти N лінійно незалежних векторів , , і обізвати їх базисом. Для будь-якого вектора , система векторів уже лінійно залежна, це з самого означення розмірності простору, а отже є рівна нулю лінійна комбінація векторів , причому . Отже . Все, і є координати.

Перегляд дописуСивий кіт (26.03.2012 – 16:24) писав:

Яким вимогам повинна відповідати ваша загадкова функція зрозуміло. Тепер напишіть яка саме функція відповідає цим вимогам?
Та будь-яка. Позначимо її .
Хай маємо два вектора, й одразу розкладемо їх по довільному базису.


Тоді . Тут використали те, що функція лінійна.
Якщо перепозначити й , то
(тут сумування по однаковим верхнім і нижнім індексам)

Повідомлення відредагував kalamar: 26.03.2012 – 17:50

  • 0

#1339 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 27.03.2012 – 07:19

Та невже я маю тут вам виписувати те, що виписано в книжці, бо ви прочитати не здатні?
Хай є простір розмірності N. З визначення розмірності простору, там можна знайти N лінійно незалежних векторів , , і обізвати їх базисом. Для будь-якого вектора , система векторів уже лінійно залежна, це з самого означення розмірності простору, а отже є рівна нулю лінійна комбінація векторів , причому . Отже . Все, і є координати.

Та будь-яка. Позначимо її .
Хай маємо два вектора, й одразу розкладемо їх по довільному базису.


Що таке a i b?
Тоді .Тут в дужках скалярні добутки ортів? А як обчислюється скалярний добуток ортів? Тут використали те, що функція лінійна.
Якщо перепозначити й , то
(тут сумування по однаковим верхнім і нижнім індексам)

Повідомлення відредагував Сивий кіт: 27.03.2012 – 07:20

  • 0

#1340 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 4225 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 27.03.2012 – 14:08

Перегляд дописуСивий кіт (27.03.2012 – 07:19) писав:

Що таке a i b?
Там написано. То будь-які два вектори.

Перегляд дописуСивий кіт (27.03.2012 – 07:19) писав:

Тут в дужках скалярні добутки ортів? А як обчислюється скалярний добуток ортів?
Ні, вище ж написано, що вектори то базис із N довільних векторів, який існує у N вимірному просторі за визначенням самого простору. Ті вектори не орти, а просто лінійно незалежні вектори, які утворюють базис. А скалярний добуток будь-яких векторів, ортів, чи не ортів, у нас заданий симетричною невиродженою лінійною функцією.
Щоб отримати ортонормований базис потрібно трохи повозитись. Це 42 параграф із Рашевського. В загальних рисах, берете неізотропний вектор , нормуєте його як , коли , чи як , коли . Завважте, що під коренем завжди виходить додатнє число і ніяка уявна одиниця не з’являється. При нормуванні вектор множиться на дійсні числа, у нас дійсний простір.

Проводите перпендикулярну до вектора гіперплощину (множина векторів таких що ), вибираєте там і нормуєте вектор , і так поки не отримаєте ортонормований базис, для якого
, при
.

Для ляпоти залишилось перенумерувати базисні вектори так, щоб спочатку йшли уявноодиничні.
, .
Все.
Тепер можете підставити в той вираз для з поперереднього допису. Й залежно від того, скільки у вас вийде уявноодиничних векторів, тобто чому рівне k, у вас вийдуть різні простори. Зокрема власне евклідів простір при k=0.
Й формула уже дає явний вигляд тієї функції для кожного простору певного індексу (індекс то величина k).
Тут опущені деякі деталі і теореми, потрібні для повної строгості. Ті деталі у Рашевського читайте.

Повідомлення відредагував kalamar: 27.03.2012 – 14:11

  • 1



Кількість користувачів, що читають цю тему: 2

0 користувачів, 2 гостей, 0 анонімних