Перейти до вмісту

Спеціальна Теорії Відносності vs. Квантова Теорія


Повідомлень в темі: 4451

#1101 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 11.02.2012 – 19:59

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 19:43) писав:

Ні. Це не координати. Координати в формулі розташовані після метричного тензора. Це просто коефіциенти виразу, який утворює скаляр з координат 4-вектора.
То можеце кординати того 4-вектора?
  • 0

#1102 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 11.02.2012 – 20:02

Перегляд дописуСивий кіт (11.02.2012 – 19:59) писав:

То можеце кординати того 4-вектора?

Та ні, координати у виразі після компонент матрици метричного тензора.
  • 0

#1103 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 11.02.2012 – 20:28

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 20:02) писав:

Та ні, координати у виразі після компонент матрици метричного тензора.
Так. З тензором ми не розберемося.Каламар знає та мовчить. А що означають dxi i dxj?
  • 0

#1104 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 11.02.2012 – 20:41

Перегляд дописуСивий кіт (11.02.2012 – 20:28) писав:

Так. З тензором ми не розберемося.Каламар знає та мовчить. А що означають dxi i dxj?

Це диференциали координат. Тобто різниця координат двох точок, які розташовані дуже й дуже близько одна до одної. Настільки близько, що це майже одна точка.
  • 0

#1105 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 11.02.2012 – 20:54

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 20:41) писав:

Це диференциали координат. Тобто різниця координат двох точок, які розташовані дуже й дуже близько одна до одної. Настільки близько, що це майже одна точка.
Це уже щось. Отже маємо дві точки. Координати однієї з них x0i, а координати другої x0i+dxi, а що таке dxj?
  • 0

#1106 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 11.02.2012 – 21:03

Перегляд дописуСивий кіт (11.02.2012 – 20:54) писав:

Це уже щось. Отже маємо дві точки. Координати однієї з них x0i, а координати другої x0i+dxi, а що таке dxj?

Я ж написав - диференциал.
  • 0

#1107 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 11.02.2012 – 21:19

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 21:03) писав:

Я ж написав - диференциал.
Зрозуміло диференціал, dxi теж диференціал, але той диференціал є різницею координат перщої і другої точок, а, що означає диференціал dxj?
  • 0

#1108 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 11.02.2012 – 21:31

Перегляд дописуСивий кіт (11.02.2012 – 21:19) писав:

Зрозуміло диференціал, dxi теж диференціал, але той диференціал є різницею координат перщої і другої точок, а, що означає диференціал dxj?

Те ж саме.
  • 0

#1109 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 11.02.2012 – 21:34

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 21:31) писав:

Те ж саме.
Якщо теж саме то якаи між ними різниця?
  • 0

#1110 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 11.02.2012 – 21:58

Перегляд дописуСивий кіт (11.02.2012 – 21:34) писав:

Якщо теж саме то якаи між ними різниця?

i та j є індексами координат, яких всього чотири. А квадратна матриця 4 на 4 містить 16 можливих компонент тобто пар координат. В формулі треба просумувати по всім можливим комбінаціям пар диференциалів координат, яких є теж 16.
  • 0

#1111 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 4225 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 11.02.2012 – 22:31

Перегляд дописуСивий кіт (11.02.2012 – 21:19) писав:

Зрозуміло диференціал, dxi теж диференціал, але той диференціал є різницею координат перщої і другої точок, а, що означає диференціал dxj?
Та формула записана так, як прийнято записувати в тензорному аналізі, звичніший запис

Тобто i та j просто індекси, по яким йде сумування. Оскільки в тензорному аналізі таких сумувань багато, погодились не писати знаку суми, а просто розуміти, що якщо є один індекс зверху, й один індекс знизу, то по ним сумують. Якщо ви то розпишете, то отримаєте звичайну формулу для інтервалу, адже там в g нульові всі недіагональні елементи.

Але я вам раджу облишити спроби розібратись із тим по вікіпедії. То доволі просунута математика, в яку немає царського шляху, й у вас немає шансів із тим отак раз, і розібратись. Того на пальцях не поясниш, щоб розуміти, треба вивчати математику. Я вам дав вище ланку на книжку Рашевського, то блискуче написана книжка по тензорам.

Можу вам лише популярно розказати про Ріманову геометрію.
Спочатку геометричні знання здобувались із експерименту, досвіду, і простих міркувань. Шумери чи єгиптяни могли рахувати площі, кути, довжини, але послідовної геометрії у них не було. Потім був Евклід, він першим побудував послідовну геометрію, в основі якої була система постулатів та аксіом. Самі аксіоми приймались без доведення, як такі, які безпосередньо із досліду слідують і є самоочевидними, а все решта виводилось із аксіом чистою логікою. Таким чином всі теореми геометрії є наслідком, фактично тавтологією, прийнятої системи аксіом.
Але в 19 столітті деяким математикам стало нудно, й вони подумали, а що вийде, якщо взяти якусь иншу систему аксіом? Чисто для приколу. Звичайно аксіоми Евкліда очевидні, але хто заважає погратись із якимись иншими аксіомами, які могли би виконуватись в якомусь гіпотетичному фантазійному Всесвіті? Отак і виникли неевклідові геометрії, як продукт забавки математиків. Але розвивалась фізика, й вона виходила за межі звичних нам відстаней й швидкостей, й виникла СТВ. Тоді виявилось, що найпростішою СТВ є в псевдоевклідовій, а не в евклідовій геометрії. Й згодом була ЗТВ побудована, а вона уже Ріманів простір використовує.

Тепер, питання, яка геометрія реального простору? До СТВ вважалось, що евклідова. Але давайте розберемось, чому так вважалось. Тому що аксіоми очевидні, а очевидні вони тому, що безпосередньо із досвіду слідують. Отут і заковика, адже той досвід стосувавсь обмежених відстаней і швидкостей. Де гарантія, що якщо вийти за ці обмеження, аксіоми виконуватимуться?
Нема такої гарантії!
Ми не знаємо, яка геометрія реального простору, ми не маємо такого абсолютного знання.
Але ми знаємо, що при невеликих швидкостях і відстаннях, геометрія реального простору дуже добре описується евклідовою геометрією.
При рельятивістських швидкостях - псевдоевклідовою, а при великих відстаннях і масах - рімановою.

З метрикою схоже. Метрика це узагальнення відстані. В звичайному евклідовому просторі метрика це відстань, а в инших просторах це те, що там виконує роль відстані.

Повідомлення відредагував kalamar: 11.02.2012 – 22:47

  • 0

#1112 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 11.02.2012 – 22:54

Перегляд дописуСивий кіт (11.02.2012 – 18:13) писав:

Виходить оперуємо "метричним тензором", а що це таке, ніхто незнає. Хіба це не нісенітниця?

Ось повне описання змісту поняття метричного тензора:

Цитата

Вимірювання відстані в координатах

Величини, які стосуються геометрії - це відстані, довжини кривих, площі та об'єми (в тому числі m-вимірні об'єми) геометричних фігур, а також кути між векторами, прямими і т.д. Розглянемо спочатку прямокутну декартову систему координат Зображення в n-вимірному просторі. Як відомо з аналітичної геометрії, квадрат відстані між двома точками A і B дається наступною формулою, яка є узагальненням теореми Піфагора: Зображення
де індексами внизу позначено, до якої точки дана координата відноситься.
Ми не можемо безпосередньо поширити формулу (1) на вимірювання довжин кривих (оскільки довжина залежить не тільки від положення двох крайніх точок, але і від положення усіх проміжних точок), а також для вимірювання всередині кривих многовидів (оскільки в них навіть не існує декартової системи координат). Але в обох цих випадках аналогічну формулу ми можемо написати для двох нескінченно близьких точок. Позначимо їх - точка P з координатами Зображення і точка P' з координатами Зображення. Відстань між цими точками позначимо ds, тоді формула (1) в нових позначеннях (диференціалах) перепишеться так: Зображення
Якщо від прямокутної декартової системи координат перейти в будь-яку іншу, в загальному випадку криволінійну, то вид формули (2) як суми квадратів не збережеться. Позначимо координати нової системи Зображення. Тоді диференціали старих і нових координат пов'язані формулами: Зображення
і для квадрат\а відстані (2) ми одержуємо квадратичну форму щодо диференціалів нових координат: Зображення
де коефіцієнти gjk дорівнюють сумі: Зображення
В формулах (3), (4) всі суми беруться по індексах, що повторюються в межах від першого (1) до останнього індекса (n). Тому для спрощення виду формул доцільно в цих формулах не писати знак суми (правило Ейнштейна). З використанням правила Ейнштейна формула (4) запишеться так: Зображення


Бажаю успіхів у розумінні всіх формул, які тут написані! Те, що Вас цікавить, виражає формула (5), з якої видно, що елементи матрици метричного тензора є коефіциентами перетворення координат при переході до іншої системи координат. Ця цитата стосується евклідової метрики, але для псевдоевклідової метрики вона теж підходить. Відмінним є лише зміст перетворення координат, де треба розуміти перетворення при переході від евклідової до псевдоевклідової метрики, яке здійснюється шляхом переходу від дійсних до уявних осей просторових координат. Частіше це роблять з часовою координатою, але дуже довго пояснювати...
  • 0

#1113 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 11.02.2012 – 23:27

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 21:58) писав:

i та j є індексами координат, яких всього чотири. А квадратна матриця 4 на 4 містить 16 можливих компонент тобто пар координат. В формулі треба просумувати по всім можливим комбінаціям пар диференциалів координат, яких є теж 16.
Так. У нас чотири осі координат. В ідповідно і чотири різниці координат двох точок. Щож тоді узначають ще дванадцять диференціалів?
  • 0

#1114 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 11.02.2012 – 23:37

Перегляд дописуСивий кіт (11.02.2012 – 23:27) писав:

Так. У нас чотири осі координат. В ідповідно і чотири різниці координат двох точок. Щож тоді узначають ще дванадцять диференціалів?

Та диференциалів всього 4, а комбінацій пар - 16. При цьому маємо чотири пари з однаковими індексами і 12 пар з різними індексами.
  • 0

#1115 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 12.02.2012 – 00:15

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 22:54) писав:

Ось повне описання змісту поняття метричного тензора:


Бажаю успіхів у розумінні всіх формул, які тут написані! Те, що Вас цікавить, виражає формула (5), з якої видно, що елементи матрици метричного тензора є коефіциентами перетворення координат при переході до іншої системи координат. Ця цитата стосується евклідової метрики, але для псевдоевклідової метрики вона теж підходить. Відмінним є лише зміст перетворення координат, де треба розуміти перетворення при переході від евклідової до псевдоевклідової метрики, яке здійснюється шляхом переходу від дійсних до уявних осей просторових координат. Частіше це роблять з часовою координатою, але дуже довго пояснювати...
Каламаре, щиро дякую за те, що ви нарешті відгукнулися. Я високо ціню ваші знаня в математиці і фізиці.Дякую за популярне пояснення ситуації в геометрії. Але я нехочу розпоршуватися. Тому прошу відповісти на моє питання поставлене в дописі №1114.

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 23:37) писав:

Та диференциалів всього 4, а комбінацій пар - 16. При цьому маємо чотири пари з однаковими індексами і 12 пар з різними індексами.

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 23:37) писав:

Та диференциалів всього 4, а комбінацій пар - 16. При цьому маємо чотири пари з однаковими індексами і 12 пар з різними індексами.

  • 0

#1116 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 12.02.2012 – 00:21

Перегляд дописуСивий кіт (12.02.2012 – 00:15) писав:

Каламаре, щиро дякую за те, що ви нарешті відгукнулися. Я високо ціню ваші знаня в математиці і фізиці.Дякую за популярне пояснення ситуації в геометрії. Але я нехочу розпоршуватися. Тому прошу відповісти на моє питання поставлене в дописі №1114.

Та я вже відповів! Ви що, чекаєте, що він Вам щось інше скаже, а тоді вже будете робити якісь висновки?
  • 0

#1117 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 12.02.2012 – 00:36

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 23:37) писав:

Та диференциалів всього 4, а комбінацій пар - 16. При цьому маємо чотири пари з однаковими індексами і 12 пар з різними індексами.
Зачить ми множимо різницю координат по першій осі спочатку саму на себе, тотім на різницю координат по другій осі, потім по третій осі і так далі і отримуємо 16 добутків. Що означають ці добутки і для чого ми це робимо?

Перегляд дописуВасиль (12.02.2012 – 00:21) писав:

Та я вже відповів! Ви що, чекаєте, що він Вам щось інше скаже, а тоді вже будете робити якісь висновки?
Василю, не ображайтеся. Поперше коли я писав Каламару, я ще не читав вашої відповіді. Подруге ви якось писали, що ви математикою не займаєтеся. І потретє одна голова добре, а дві краще.

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 22:54) писав:

Ось повне описання змісту поняття метричного тензора:


Бажаю успіхів у розумінні всіх формул, які тут написані! Те, що Вас цікавить, виражає формула (5), з якої видно, що елементи матрици метричного тензора є коефіциентами перетворення координат при переході до іншої системи координат. Ця цитата стосується евклідової метрики, але для псевдоевклідової метрики вона теж підходить. Відмінним є лише зміст перетворення координат, де треба розуміти перетворення при переході від евклідової до псевдоевклідової метрики, яке здійснюється шляхом переходу від дійсних до уявних осей просторових координат. Частіше це роблять з часовою координатою, але дуже довго пояснювати...
Ми не можемо безпосередньо поширити формулу (1) на вимірювання довжин кривих (оскільки довжина залежить не тільки від положення двох крайніх точок, але і від положення усіх проміжних точок), а також для вимірювання всередині кривих многовидів (оскільки в них навіть не існує декартової системи координат). Але в обох цих випадках аналогічну формулу ми можемо написати для двох нескінченно близьких точок.
Довжина кривої не може бути метрикою, тому, що незадовільняє третю вимогу до метрики.
  • 0

#1118 kalamar

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 4225 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Чорнильщина

Відправлено 12.02.2012 – 00:44

Перегляд дописуСивий кіт (12.02.2012 – 00:28) писав:

Зачить ми множимо різницю координат по першій осі спочатку саму на себе, тотім на різницю координат по другій осі, потім по третій осі і так далі і отримуємо 16 добутків.
Оскільки всі недіагональні елементи g нульові, то виживуть тільки добутки на себе.

Перегляд дописуСивий кіт (12.02.2012 – 00:28) писав:

Що означають ці добутки і для чого ми це робимо?
Беріть читайте Рашевського. Справа в тому, що в вікіпедії там просто взяті з даху формули, які вже записані в координатах, тоді як в просторі ніяхих природних координат нема, хоч ті формули і правильно з літератури переписані, але не факт, що людина, яка їх переписувала, їх повністю розуміла. Метрику в просторі можна задати просто заданням білінійної симетричної невиродженої функції, скалярного добутку.
Якщо ви хочете зрозуміти геометричний зміст, звідки то береться, чому саме така матриця, читайте Рашевського. У тій книжці і СТВ, й ЗТВ є. Ніхто ніколи не вивчив цього по вікіпедії.
  • 0

#1119 Сивий кіт

    Генеральний писар

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 645 повідомлень

Відправлено 12.02.2012 – 00:51

Перегляд дописуВасиль (11.02.2012 – 22:54) писав:

Ось повне описання змісту поняття метричного тензора:


Бажаю успіхів у розумінні всіх формул, які тут написані! Те, що Вас цікавить, виражає формула (5), з якої видно, що елементи матрици метричного тензора є коефіциентами перетворення координат при переході до іншої системи координат. Ця цитата стосується евклідової метрики, але для псевдоевклідової метрики вона теж підходить. Відмінним є лише зміст перетворення координат, де треба розуміти перетворення при переході від евклідової до псевдоевклідової метрики, яке здійснюється шляхом переходу від дійсних до уявних осей просторових координат. Частіше це роблять з часовою координатою, але дуже довго пояснювати...
Для чого нам городити увесь цей горд з переходом від однієї системи координат до іншої. Наше мета визначити відстань. Для цього ми можемо скористатися будьякою системою координат, наприклад полярною, тоді формула матиме зовсім інший вид, але відстань від цього не зміниться. Через дві точки ми можемо провести одну пряму і визначити відстань як Ix-yI.
  • 0

#1120 Василь

    Старійшина

  • Користувачі
  • PipPipPipPipPipPipPipPipPipPip
  • 1505 повідомлень
  • Стать:Чоловік
  • Місто:Софія

Відправлено 12.02.2012 – 00:55

Перегляд дописуСивий кіт (12.02.2012 – 00:28) писав:

Зачить ми множимо різницю координат по першій осі спочатку саму на себе, тотім на різницю координат по другій осі, потім по третій осі і так далі і отримуємо 16 добутків. Що означають ці добутки і для чого ми це робимо?

Ці добутки в нашому випадку взагалі не потрібні. Вони грають роль лише в загальній теорії відносности, коли виникає викривлення простору. Ви спочатку розберіться з випадком інерційних систем, де вони не мають внеску в інтервал.

Перегляд дописуСивий кіт (12.02.2012 – 00:28) писав:

Василю, не ображайтеся. Поперше коли я писав Каламару, я ще не читав вашої відповіді. Подруге ви якось писали, що ви математикою не займаєтеся. І потретє одна голова добре, а дві краще.

Я не ображаюсь, просто, інколи здається, що Ви взагалі не читаєте моїх дописів. Математикою я не займаюсь, але тут не дуже складна математика - десь на рівні першого курсу фізичного факультету.

Перегляд дописуСивий кіт (12.02.2012 – 00:36) писав:

Ми не можемо безпосередньо поширити формулу (1) на вимірювання довжин кривих (оскільки довжина залежить не тільки від положення двох крайніх точок, але і від положення усіх проміжних точок), а також для вимірювання всередині кривих многовидів (оскільки в них навіть не існує декартової системи координат). Але в обох цих випадках аналогічну формулу ми можемо написати для двох нескінченно близьких точок.
Довжина кривої не може бути метрикою, тому, що незадовільняє третю вимогу до метрики.

Саме це і написано в цитаті - "ми не можемо поширити".
  • 0



Кількість користувачів, що читають цю тему: 3

0 користувачів, 3 гостей, 0 анонімних